Μαθηματικά: Άσκηση κριτικής σκέψης

Ένας σεΐχης λέει στους δυο γιους του να κάνουν αγώνα με τις καμήλες τους σε μια μακρινή πόλη για να δουν ποιος θα κληρονομήσει την περιουσία του. Όποιου η καμήλα είναι πιο αργή, θα κερδίσει. Οι αδελφοί, μετά από πολλή σκέψη και άσκοπη περιπλάνηση ζήτησαν τη συμβουλή από έναν σοφό. Αφού άκουσαν αυτό που τους είπε, ανέβηκαν στις καμήλες τους και έτρεξαν όσο πιο γρήγορα μπορούσαν μέχρι το τέρμα. Τι τους είπε ο σοφός;

Αποτέλεσμα εικόνας για καμήλες

Απ. Να αλλάξουν καμήλες μεταξύ τους

Τεστ ψευδαίσθησης! Πόσες φορές μας ξεγελούν τα ίδια μας τα μάτια…

Παρατηρήστε την παραπάνω εικόνα και βρείτε ποιος πορτοκαλί κύκλος είναι πιο μεγάλος!

Είναι ίσοι!

Στην πραγματικότητα οι δύο πορτοκαλί κύκλοι είναι ίσοι μεταξύ τους. Πιιθανολογείται ότι για την ψευδαίσθηση αυτή ευθύνεται η εντύπωση της απόστασης που δημιουργούν οι εξωτερικοί κύκλοι. Αντιλαμβανόμαστε δηλαδή τους μεγάλους εξωτερικούς κύκλους σαν να είναι κοντά σε μας και τον πορτοκαλί κύκλο σαν να βρίσκεται μακριά μας με αποτέλεσμα να έχουμε λανθασμένη αντίληψη για το μέγεθός του.

Η οπτική αυτή απάτη προέκυψε από τις μελέτες του Γερμανού ψυχολόγου Hermann Ebbinghaus (1850-1909) και έγινε γνωστή στον αγγλόφωνο κόσμο από τον ψυχολόγο Titchener το 1901.

Γιατί ξεχνάμε τόσο γρήγορα; Είναι φυσιολογικό;

Σύμφωνα με τον Γερμανό ψυχολόγο Hermann Ebbinghaus, ο οποίος πρωτοστάτησε στην πειραματική μελέτη της μνήμης και είναι γνωστός για την ανακάλυψη της καμπύλης λήθης, ναι,  είναι απολύτως φυσιολογικό. 

Τα ευρήματά του διαμόρφωσαν έναν δείκτη, γνωστό ως καμπύλη λήθης, ο οποίος απεικονίζει οτι μετά τα πρώτα 20 λεπτά που έχουμε λάβει μια πληροφορία, έχουμε συγκρατήσει μόλις το 58% και κάτω από το μισό μετά την πρώτη ώρα. 

Αυτή η πραγματικότητα ωστόσο μπορεί να μεταβληθεί όταν μελετάμε την πληροφορία που θέλουμε ξανά και ξανά και την κάνουμε επανάληψη σε συγκεκριμένα διαστήματα, ωστε να περάσει από τη βραχυχρόνια στην μακροχρόνια μνήμη του εγκεφάλου μας. Η θεωρία αυτή ονομάζεται επίδραση της κατανεμημένης επανάληψης, σύμφωνα με την οποία συγκρατούμε αυτά που μαθαίνουμε ευκολότερα και αποτελεσματικότερα.

Η καμπύλη λήθης, απεικονίζει οτι μετά τα πρώτα 20 λεπτά που έχουμε λάβει μια πληροφορία, έχουμε συγκρατήσει μόλις το 58% και κάτω από το μισό μετά την πρώτη ώρα. 

Η κατανεμημένη τεχνική της επανάληψης για τη βραχυχρόνια αποθήκευση πληροφοριών προϋποθέτει την πρώτη επανάληψη αμέσως μετά τη λήψη της πληροφορίας, τη δεύτερη μετά από 20 λεπτά, την τρίτη μετά από 6 – 8 ώρες, την τέταρτη στο τέλος του 24ώρου.

Αντίθετα, προκειμένου να συγκρατήσουμε πληροφορίες στη μακροχρόνια μνήμη βοηθούν περισσότερο οι επαναλήψεις με μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ τους. Συστήνεται η πρώτη επανάληψη αμέσως μετά τη λήψη της πληροφορίας, η δεύτερη μετά από μισή ώρα, η τρίτη μετά από μια μέρα, η τέταρτη μετά από 2 – 3 εβδομάδες και η πέμπτη μετά από 2 – 3 μήνες.

Super μαθηματική δραστηριότητα διακοπών! Η χιονονιφάδα του Koch!

15 μέρες για τα χριστούγεννα και τις διακοπές που όλοι περιμένουμε με ανυπομονησία!!! Τα σχολεία κλείνουν, το σπίτι μυρίζει κανέλα και πορτοκάλι, το χριστουγεννιάτικο δέντρο φωτίζει όμορφα στολισμένο και εμείς έχουμε μυαλό μόνο για ψώνια και δώρα!

Κατά τη διάρκεια της εορταστικής αυτής περιόδου και καθώς οι μέρες των διακοπών είναι αρκετές, τα παιδιά εύκολα αποσυντονίζονται, αποφεύγουν να μελετούν με τον παραδοσιακό τρόπο και είναι πιθανό να χάσουν τη μαθηματική τους φόρμα!.Θέλοντας να βοηθήσουμε τα παιδιά σας να απασχολήσουν με μαθηματικό αλλά ευχάριστο τρόπο το μυαλό τους στις γιορτές, σκεφτήκαμε την κατασκευή της νιφάδας χιονιού του Koch!

Ο Koch ήταν ένας Σουηδός μαθηματικός που ανακάλυψε και έδωσε το όνομά του στο διάσημο φράκταλ, γνωστό ως νιφάδα χιονιού. Με τον όρο φράκταλ στις θετικές επιστήμες, ονομάζουμε ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης. Με αυτό το μοτίβο λοιπόν, το οποίο, όταν επαναλαμβάνεται σε μικρότερες και μικρότερες επαναλήψεις, δημιουργεί μια μοναδική και όμορφη νιφάδα χιονιού, διασκεδάστε μαζί με τα παιδιά σας και γεμίστε το σπίτι σας μοναδικές χιονονιφάδες!!!

Στείλτε μας φωτογραφίες από την φανταστική σας κατασκευή!!! (hello at mathproject.gr)

Καλές διακοπές!

Βήμα 1

Κατασκευάστε ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε ότι μέγεθος θέλετε

Βήμα 2

Επιλέξτε μία πλευρά του μεγάλου τριγώνου και διαιρέστε τη σε τρία ίσα μέρη. Σημειώσετε την αρχή και το τέλος του μεσαίου τμήματος. Αυτό το ευθύγραμμο τμήμα θα αποτελέσει τη βάση ενός μικρότερου τριγώνου.

Βήμα 3

Χρησιμοποιήστε τη νέα σας βάση, φτιάξτε ένα ακόμη ισόπλευρο τρίγωνο

Βήμα 4

Επαναλάβετε τα βήματα 2 και 3 και στις άλλες δύο πλευρές του πρώτου τριγώνου που κατασκευάσατε. Αυτή η πρώτη επανάληψη αυτής της διαδικασίας παράγει το περίγραμμα ενός εξαγώνου.

Βήμα 5

Επαναλάβετε τα βήματα 2 και 3 σε κάθε πλευρά του νέου σας σχήματος 

Το απόλυτο math hack! Υπολόγισε ποσοστά με το μυαλό

Έχεις σκεφτεί ποτέ οτι το x% του y είναι ίσο με το  y% του x; 

 «Το 18% του 50 είναι δύσκολο να υπολογιστεί, αλλά το 50% του 18 είναι πιο εύκολο, σωστά;» έγραψε ο Ben Stephens, ένας κειμενογράφος διαφήμισης που ζει στην Αγγλία και μοιράστηκε στο twitter ένα απλό μαθηματικό κόλπο, για τον υπολογισμό ποσοστών με το μυαλό.

Αυτή η βασική αρχή μπορεί σε πολλούς να φαίνεται αστεία αλλά το πλήθος των σχολίων όπου ακολούθησε το αρχικό σχόλιο του Ben Stephen αποδεικνύει οτι για πολλούς είναι μια τρομερή ανακάλυψη!

Υπολογίζεις πιο εύκολα το 75% του 4, από το 4% του 75

Ο ίδιος το περιγράφει ως “συναρπαστικό μικρό hack της ζωής”. Για παράδειγμα, αν χρειάζεται να υπολογίσεις το 4% των 75 στο μυαλό σου, απλά γύρισέ το και κάνε το 75% των 4, κάτι που είναι πιο εύκολο», σχολίασε ο Stephens. Πράγματι, αν αλλάξετε τους αριθμούς και υπολογίσετε το 75 τοις εκατό των 4, το αποτέλεσμα θα είναι 3 – και το 3 είναι η ίδια απάντηση όταν υπολογίζετε το 4 τοις εκατό των 75.

Γιατί πρέπει να μάθω μαθηματικά;

Η ζωή και η καθημερινότητα είναι γεμάτες προκλήσεις. Η επιτυχία του κάθε ανθρώπου εξαρτάται από το πως διαχειρίζεται τις προκλήσεις αυτές. Ανεξάρτητα από το επάγγελμά, την οικονομική επιφάνεια ή την οικογενειακή του κατάσταση, ο κάθε άνθρωπος μαθαίνει να αντιμετωπίζει τις καταστάσεις που βιώνει και να ανταμείβεται συναισθηματικά από την εξέλιξή τους.

Τα μαθηματικά είναι σαν τη γυμναστική. Δεν γυμνάζεται κανείς μόνο αν κάνει πρωταθλητισμό.

Τα μαθηματικά βοηθούν στην επίλυση των προβλημάτων της πραγματικής ζωής, ανεξάρτητα από τη φύση του προβλήματος. Τα βήματα αφορούν αρχικά τον καθορισμό του προβλήματος, έπειτα την εύρεση τρόπων λύσεων, στη συνέχεια την εφαρμογή των τρόπων αυτών και την αξιολόγηση του αποτελέσματος και τέλος, τον επαναπροσδιορισμό του προβλήματος, εφόσον απαιτείται.

Τα μαθηματικά είναι σαν τη γυμναστική. Δεν γυμνάζεται κανείς μόνο αν κάνει πρωταθλητισμό. Γυμνάζεται για να ενισχύσει τη δύναμη, την αντοχή του, για να τονώσει τον οργανισμό του και συγχρόνως να κάνει τη ζωή του πιο ευχάριστη, να βελτιώσει την ποιότητά της. Τα μαθηματικά γυμνάζουν αντίστοιχα το μυαλό. Μπορεί να μη χρειαστεί ποτέ κάποιος να λύσει εξίσωση δευτέρου βαθμού στη ζωή του, ωστόσο με την εξάσκηση στους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, βελτιώνει κανείς την ικανότητά του στη λήψη αποφάσεων. 

Ακριβώς σε αυτό το σημείο εστιάζει και το math project. Βοηθά τα παιδιά να κατανοήσουν τα μαθηματικά με απλούς τρόπους προσφέροντας τους τη δυναμική που χρειάζονται για να ανταπεξέλθουν στη διαχείριση των ασκήσεων και των προβλημάτων. “Γυμνάζει” τον τρόπο σκέψης τους, ενθαρρύνει την αυτονομία στην εύρεση τρόπων λύσεων και τροφοδοτεί την αυτοδιόρθωση και τον επαναπροσδιορισμό με το σύστημα της τελείας. Η αυτοπεποίθηση των μαθητών καλλιεργείται σταδιακά και η μαθηματική τους σκέψη αποκτά σάρκα και οστά.

Μοντέλο μάθηση μάθησης VS κλασικό μοντέλο διδασκαλίας

Η μάθηση μάθησης είναι μια εκπαιδευτική φιλοσοφία που υποστηρίζει οτι ένας μαθητής θα πρέπει να κατακτήσει ένα υψηλό επίπεδο γνώσης σε ένα συγκεκριμένο πεδίο προκειμένου να προχωρήσει στην εκμάθηση νέων εννοιών.

Υποδεικνύει οτι η διδασκαλία πρέπει να εστιάζει στον χρόνο που απαιτείται ώστε οι μαθητές να μάθουν το ίδιο υλικό και να φτάσουν στο ίδιο επίπεδο γνώσης, σε αντίθεση με το κλασικό μοντέλο διδασκαλίας το οποίο εστιάζει στην ικανότητα, μιας και η γνώση δίνεται σε όλους τους μαθητές την ίδια στιγμή και θεωρεί οτι όλοι θα πρέπει να έχουν κατακτήσει την ίδια γνώση στον ίδιο χρόνο.

Στο μοντέλο μάθηση μάθησης, εαν ένας μαθητής παρόλο που έχει ήδη εργαστεί σε ένα πεδίο γνώσης, δεν την έχει κατακτήσει σε ένα υψηλό επίπεδο, του παρέχεται πρόσθετη διδακτική στήριξη μέχρι να καταφέρει να φτάσει στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Στη συνέχεια μπορεί να προχωρήσει στο επόμενο στάδιο.

Οι μαθητές μας ντύνονται με αυτοπεποίθηση και αυτοεκτίμηση και φτάνουν πέρα από οσο θα μπορούσαν και οι ίδιοι να φανταστουν…

Στο κλασικό μοντέλο διδασκαλίας αντίστοιχα, δεν υπάρχει ενδιαφέρον για το αν η γνώση έχει κατακτηθεί ή όχι…Η ύλη προχωρά συστημικά σύμφωνα με το ετήσιο πλάνο ύλης κάθε φορά και έτσι οι μικρές ελλείψεις γίνονται μεγάλες, και ακόμα πιο μεγάλες, μέχρι που γίνονται η αιτία να μην μπορεί κάποιος μαθητής να παρακολουθήσει καθόλου την εξέλιξη του μαθήματος, να παρατήσει την όποια προσπάθεια θα ήταν σε θέση να κάνει και στο τέλος να μισήσει και τα μαθηματικά!

Το math project υιοθετώντας την εκπαιδευτική φιλοσοφία μάθηση μάθησης σέβεται την προσωπικότητα του κάθε μαθητή και δεν απαξιώνει την υπάρχουσα κατακτημένη γνώση του. Διερευνά το επίπεδο του ατομικά και σε βάθος, χωρίς να τον φέρνει σε δύσκολη θέση και τον καθοδηγεί με τη βοήθεια έμπειρων καθηγητών Μαθηματικών οδηγώντας τον στην κατάκτηση μικρών κάθε φορά στόχων.

Οι μαθητές μας ντύνονται με αυτοπεποίθηση και αυτοεκτίμηση και φτάνουν πέρα από οσο θα μπορούσαν και οι ίδιοι να φανταστουν…

* Η εκπαιδευτική στρατηγική μάθηση μάθησης προτάθηκε αρχικά από τον Αμερικάνο ψυχολόγο εκπαίδευσης Benjamin Bloom, το 1968.

Η τέλεια λύση

Χρόνια παρατηρώ τις αντιδράσεις των μαθητών μου οταν διορθώνω τα λάθη στις ασκήσεις τους. Συνήθως το μοναδικό πράγμα που ακούω είναι μια δικαιολογία με μια χροιά αποθάρρυνσης. Τα παιδιά σηκώνουν αμέσως τα χέρια ψηλά. Σαν κάποιος να τους είπε οτι αν κάνουν ένα λάθος στις ασκήσεις που μελετούν, ο κόσμος των μαθηματικών, τους έκλεισε την πόρτα. Μια για πάντα. Συνήθως λοιπόν ακούω τα εξής: Κυρία δεν κατάλαβα…Κυρία, γιατί είναι τόσο δύσκολο…Κυρία, που θα μου χρειαστούν αυτά στην πραγματική μου ζωη…Κυρία ποιός τα ανακάλυψε αυτά; Δεν είχε τίποτα καλύτερο να κάνει; Κυρία, όσο και να διαβάζω δεν τα καταφέρνω…δε μπορώ…και πάντα καταλήγουμε στο…κυρία, δεν μου αρέσουν τα μαθηματικά. 

Θα ήθελα πολύ ωστόσο – έστω για μια φορά – να ακούσω από τους μαθητές μου…κυρία, για να δω..τι έκανα λάθος; Μμμ…δεν καταλαβαίνω ακριβώς την επισήμανσή σας…μπορείτε να μου το εξηγήσετε άλλη μια φορά; Έχουμε λύσει παρόμοια άσκηση γιατί δεν βρήκα κάτι αντίστοιχο στο τετράδιο μου απο τα παραδείγματα που έχουμε ήδη λύσει…Θα ήθελα πολύ να δώ βιβλία και σημειώσεις με υπογραμμισμένα τα βασικά σημεία. Με χρωματισμένες τις βασικές έννοιες. Με βελάκια και ερωτηματικά στις απορίες. Με ασκήσεις μισολυμένες, μουτζουρωμένες από τα λάθη και τις προσπάθειες ξανά και ξανά, με παραπομπές σε άλλες ασκήσεις παρόμοιες, με post-it ανά κατηγορία…από το να μη βλέπω ποτέ λυμένη ούτε μια άσκηση με την κλασική δικαιολογία: Κυρία, δεν κατάλαβα. 

Είμαι πεπεισμένη πως η πλειοψηφία των σημερινών παιδιών προτιμά τα “έτοιμα” και για να πούμε και την αλήθεια…ποιος δεν τα προτιμά; Όμως επειδή τα αγαθά κόποις κτώνται, σημαντικό για το μέλλον τους θα είναι να τα μάθουμε να ψαρεύουν για να φάνε και όχι απλά να τρώνε το έτοιμο καλομαγειρεμένο ψάρι, που κάποιος άλλος έχει κοπιάσει να το ψαρέψει, να το πλύνει, να το καθαρίσει, να το μαγειρέψει, να το σερβίρει και μετά να πλύνει και τα πιάτα! Τα παιδιά μας θα πρέπει να βλέπουν βήμα βήμα όλα τα στάδια και τον κόπο που χρειάζεται το οτιδήποτε για να υλοποιηθεί ώστε να έχουν την πλήρη εικόνα και να μη μεγαλώνουν με ψευδαισθήσεις.

“δεν δίνω μασημένη τροφή στους μαθητές μου”

Το πρόβλημα

Το μεγαλύτερο πρόβλημα των παιδιών στα μαθηματικά είναι οτι δεν αφιερώνουν χρόνο στο να μάθουν περισσότερα μέσα από τα λάθη τους. Ελάχιστοι είναι οι μαθητές οι οποίοι αφού πάρουν ασκήσεις η διαγωνίσματα πίσω διορθωμένα τα ξαναμελετούν.  Το μόνο που ενδιαφέρει τους περισσότερους είναι ο βαθμός και έπειτα δεν τους νοιάζει ακόμα κι αν κάποιος πέταγε τον κόπο τους στα σκουπίδια. Μα εκεί…κρύβεται ένας αληθινός θησαυρός! 

Το πείραμα

Στα πλαίσια του “δεν δίνω μασημένη τροφή στους μαθητές μου” αποφάσισα να πειραματιστώ με το κομμάτι της αυτοδιόρθωσης. Να τους δείξω στην πράξη οτι όταν καταφέρουν να αντιληφθούν οτι κάτι πάει λάθος και επειτα μπουν και στη διαδικασία να το διορθώσουν, θα έχουν ανέβει μια σημαντική και δύσκολη ανηφόρα.

Η τελεία

Έτσι λοιπόν αποφάσισα να μην ξαναδιορθώσω απευθείας καμία άσκηση και να μη γράφω τη λύση δίπλα εγώ. Ελέγχω τις ασκήσεις του κάθε μαθητή και όπου υπάρχει λάθος βάζω δίπλα μια τελεία. Αυτό σημαίνει πως ο μαθητής θα πρέπει να ξανασκεφτεί τι έκανε και πως μπορεί να το διορθώσει. Μέσα από τη διαδικασία της αυτοδιόρθωσης, τρέφεται η αυτοεκτίμησή του, ενισχύεται η αυτοπεποίθηση του, δυναμώνει τη γνώση και εξελίσσεται η μαθηματική του κριτική ικανότητα.

Mathproject παρουσίαση

Είμαστε στην ευχάριστη θέση να σας παρουσιάσουμε το σύστημα mathproject. Νέα δεδομένα νέα αρχή για την εκμάθηση των μαθηματικών. Το σύστημα ανταποκρίνεται σε όλες τις ηλικίες και προσαρμόζεται σε κάθε επίπεδο.

Δεν έχεις από το να το δοκιμάσεις.